Theoretical-numerical-experimental analysis of nonlinear dynamics of pendulums subjected to a non-stationary magnetic field
Analiza teoretyczno-numeryczno eksperymentalna dynamiki nieliniowej wahadeł poddanych działaniu niestacjonarnego pola magnetycznego
Project type: Research and development
Keywords: wahadło wahadło magnetyczne pole magnetyczne dynamika nieliniowa
Keywords (english): pendulum magnetic pendulum magnetic field non-linear dynamics
Consortium members: Project was not implemented as part of a consortium
Project implementation period: 18/01/2022 - 17/01/2024
Funding institution: Narodowe Centrum Nauki
Program name: Preludium
Project manager: Krystian Polczyński
Funding value: 99 052,00 PLN
Total project value: 99 052,00 PLN
Prezentowany projekt ma na celu modelowanie matematyczne, numeryczne, analityczne i eksperymentalne badania dynamiki układów mechatronicznych składających się z pojedynczego lub podwójnie wahadeł sprzężonych, poddanych zewnętrznemu polu magnetycznemu. Wahadło jest mechaniczną częścią takich układów i jest dobrze znane w fizyce jako najprostszy obiekt, który może wykazywać się dynamiką nieliniową. Pole magnetyczne pełni rolę źródła wzbudzenia i należy do zupełnie innej dziedziny fizyki niż mechanika. Połączenie to wprowadza do takich systemów istotne zmiany dające nowe możliwości ich zastosowań. W ramach tego projektu można badać dwa układy o oddziaływaniu magnetycznym: (A) układ pojedynczego wahadła oraz (B) układ dwóch sprzężonych wahadeł. Skonstruowano stanowisko doświadczalne dla tych systemów, a proces przełączania się między nimi nie wymaga skomplikowanych działań. System A składa się z pojedynczego wahadła z magnesem zamocowanym na końcu ramienia i wymuszanym przez cewkę elektryczną, która jest umieszczona pod spodem. System B składa się z dwóch wahadeł (tak samo jak w systemie A), ale tylko jedno z nich jest wyposażone w magnes, natomiast drugie posiada mosiężny element zamiast magnesu. Wahadła są połączone skrętnie za pomocą elastycznego elementu lub sprężyny. Ruchy chaotyczne i regularne tych układów zostały już przeanalizowane pod kątem różnych parametrów prostokątnego sygnału prądu wzbudzającego, takich jak częstotliwość i współczynnik wypełnienia. Wyniki wspomnianych prac zostały opublikowane w dwóch czasopismach naukowych o Impact Factors większym niż 1,6. Z matematycznego punktu widzenia oddziaływanie magnetyczne w badanych układach można traktować jako dodatkową sztywność, która zależy od zmiennej dynamicznej (położenia kątowego wahadła) oraz wartości prądu cewki. Zależność od zmiennych dynamicznych jest kluczowa w prezentowanym oddziaływaniu magnetycznym, ponieważ jest silnie nieliniowa i może zniknąć, gdy wahadło opuści strefę oddziaływania magnetycznego. Ponadto, ze względu na zmieniający się prąd cewki, znak sztywności układu może być zmieniany pomiędzy wartością dodatnią a ujemną, co jest trudne do osiągnięcia w prostych układach mechanicznych. Podsumowując, dotychczasowe prace koncentrowały się na analizie dynamiki tych układów, podczas gdy sygnał prądowy miał stałe wartości częstotliwości i współczynnika wypełnienia. Z tego powodu celem tego projektu jest zbadanie zachowania dynamicznego układów pod kątem sygnału prądu wzbudzenia, którego parametry takie jak częstotliwość, amplituda czy przesunięcie fazy nie są stałe, ale zależne od zmiennej dynamicznej zgodnie z zadanym wzorem matematycznym. Sprzężenie sygnału wzbudzenia ze zmiennymi dynamicznymi może znacząco zmienić dynamikę układów w porównaniu z dynamiką kiedy wartości te są stałe. Planowane jest również zbadanie transferu energii i postaci rozwiązań w układzie dwóch słabo sprzężonych wahadeł. Stosując odpowiedni algorytm sterowania prądem cewki, indukowane siły magnetyczne mogą zmieniać przepływ energii między wahadłami. Może to spowodować np. zwiększenie lub zmniejszenie amplitudy oscylacji dla każdego wahadła. Wyniki tych badań mogą być przydatne do kontrolowania zachowania ogromnych struktur oscylujących lub łańcuchów oscylatorów.
The presented project is aimed at mathematical modelling, numerical, analytical, and experimental investigations of the dynamics of mechatronic systems consist of a single pendulum or double coupled pendulums subjected to an external magnetic field. The pendulum is a mechanical part of such systems and is well known in physics as the simplest object which can exhibit nonlinear dynamics. The magnetic field plays the role of excitation source and belongs to a completely another branch of physics than mechanics. That combination introduces to such systems significant changes giving a new possibility for their applications. During this project, two systems with magnetic interaction can be studied: (A) system of the single pendulum and (B) system of two coupled pendulums. The experimental rig for those systems has been constructed and the process of switching between them does not require complicated maintenance. System A consists of a single pendulum with a magnet fixed at the end of the rod and powered by an electric coil which is placed underneath. System B consists of two pendulums (same as in the system A) but only one of them is equipped in the magnet whereas the second one possesses a brass element instead of the magnet. The pendulums are coupled torsionally by an elastic element or a mechanical spring. Chaotic and regular motions of these systems have been already analysed in terms of different parameters of an alternating rectangular excitation current signal such as frequency and duty cycle. The results of the mentioned works were published in two scientific journals with Impact Factors greater than 1.6 and 6.4. From the mathematical point of view, the magnetic interaction in studied systems might be treated as additional stiffness which is dependent on a dynamical variable (angular position of the pendulum) and the value of the coil current. The dynamical variable dependence is crucial in the presented magnetic interaction because it is strongly nonlinear, and it can vanish when the pendulum leaves the zone of the magnetic interaction. Moreover, due to changing coil current, the sign of the system’s stiffness can be changed between positive and negative value what is difficult to achieve in straight mechanical systems. To summarizing, previous works were focused on the analysis of dynamics of these systems while the current signal had fixed values of the frequency and duty cycle. Because of that, the purpose of this project is to investigate the dynamical behaviour of the systems in terms of excitation current signal which parameters as frequency, amplitude or shift phase are not fixed but dependent on a dynamical variable according to a given mathematical formula. Conjugation of the excitation signal with dynamical variables might significantly change the dynamics of the systems in comparison with dynamics for their steady values. It is also planned to investigate the transfer of energy and auto-localized modes in the system of two weakly coupled pendulums. Using the proper controlling algorithm for the coil current, the induced magnetic forces can change the energy flow between pendulums. That can cause e.g., increasing or decreasing the amplitude of oscillations for each pendulum. The results of those studies can be useful for controlling the behaviour of huge oscillating structures or chains of oscillators.
Go back