Mathematical modeling of the nonlinear dynamics of the components of nanoelectromechanical sensors in the form of flexible plates and shells at the presence of noise and temperature fields

Modelowanie matematyczne dynamiki nieliniowej elementów czujników nanoelektromechanicznych w postaci elastycznych płyt i powłok w obecności szumu i pola temperaturowego


Project type: Research and development

Keywords: drgania modelowanie matematyczne pole temperaturowe płyty i powłoki

Keywords (english): vibrations plates and shells mathematical modeling tempertaure field

Consortium members: Project was not implemented as part of a consortium

Project implementation period: 30/08/2019 - 29/08/2022

Funding institution: Narodowe Centrum Nauki

Program name: Preludium

Project manager: Vadim Krysko

Funding value: 133 300,00 PLN

Total project value: 133 300,00 PLN



Miniaturyzacja czujników i przyrządów do skali nano wywołała potrzebę zidentyfikowania i zbadania podatnych elementów mechanicznych (belek, płyt i powłok) odpowiedzialnych za procesy dynamiczne zachodzące w tych urządzeniach. Urządzenia nanoelektromechaniczne (NEMS) mają unikalne właściwości, które wymagają odpowiedniego modelowania matematycznego w celu adekwatnego przewidywania ich dynamicznego zachowania. Wśród wspomnianych właściwości można wyróżnić ich małe wymiary i mały ciężar, wysoką wytrzymałość mechaniczną, wysokie częstotliwości rezonansu mechanicznego (co pozwala na uniknięcie szkodliwych procesów drganiowych), uwzględnienie wpływu mechaniki kwantowej, oraz wysoki stosunek pola powierzchni do objętości. Powyższe cechy są istotne z punktu widzenia wrażliwości tych elementów na wiarygodne uzyskanie pomiarów na przykład w przypadku mikroczujników ciśnienia. Nanoczujniki i nanosiłowniki znajdują zastosowanie w fizyce, biologii, chemii, medycynie (diagnostyka, nano- i mikrochirurgia, transport leków w naczyniach krwionośnych), czy przemyśle. Warunki działania czujników NEMS są w dużym stopniu zbieżne z warunkami dla czujników mikroelektromechanicznych (MEMS), jednak ze względu na bardzo mały rozmiar czujników NEMS, czynniki zakłócające mają większy wpływ na urządzenia NEMS niż na MEMS. Wartość dodaną proponowanego projektu badawczego, stanowić będą: (i) konstrukcja nowych modeli matematycznych elementów NEMS z wykorzystaniem metod dynamiki nieliniowej oraz z uwzględnieniem małych rozmiarów i warunków działania czujników NEMS; (ii) opracowanie nowych algorytmów, zaawansowanego oprogramowania komputerowego i nowych metod analizy danych; (iii) zastosowanie złożonych teorii, takich jak zmodyfikowana teoria naprężeń par (ang. modified couple stress theory), z uwzględnieniem geometrycznej nieliniowości elementów. Powyższa metodologia zostanie wykorzystana do opracowania nowych jakościowo kierunków badań związanych z projektowaniem, wytwarzaniem i doborem materiałów nanopłyt i nanopowłok, stanowiących elementy układów NEMS. Innym ważnym aspektem projektu badawczego jest dobór właściwego modelu wpływu temperatury, a także uwzględnienie wpływu szumu białego i kolorowego oraz wzajemnego oddziaływania pól odkształcenia i temperaturowego na zjawiska dynamiczne obserwowane w układach NEMS/MEMS. Należy podkreślić, że w aspekcie dynamiki nieliniowej, podczas modelowania płyt, belek czy powłok w skali mikro lub nano, z reguły zagadnienie bywa radykalnie uproszczone do układu mechanicznego o jednym lub dwóch stopniach swobody. Podczas analizy układów ciągłych, badanie takiego układu sprowadzane jest do rozwiązania jednego lub dwóch równań różniczkowych zwyczajnych typu Duffinga, co nie pozwala jednak na dokładny opis występujących w takich układach procesów nieliniowych. W proponowanym projekcie rozważane układy ciągłe będą traktowane jako układy o niemal nieskończonej liczbie stopni swobody, co najdokładniej opisze zachowanie dynamiczne takich układów. Zasada Hamiltona posłuży do uzyskania nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych różnych typów i wymiarów, a także warunków brzegowych i początkowych. Badania jakościowe zostaną przeprowadzone z wykorzystaniem różnych metod numerycznych. Wiarygodność badań zostanie zweryfikowana poprzez zredukowanie układów równań różniczkowych cząstkowych do równań różniczkowych zwyczajnych (metodą różnic skończonych 2. i 4. rzędu oraz metodą Faedo-Galerkina) oraz rozwiązanie problemu Cauchy'ego za pomocą metody Newmarka i metody Runge-Kutty 4. i 2. rzędu. Metody Runge-Kutty zapewniają automatyczną zmianę kroku i pozwalają kontrolować błąd całkowania, co umożliwia otrzymanie wiarygodnych wyników. W projekcie oprócz dobrze znanych metod rozwiązania podobnych problemów proponuje się zbadanie dynamiki chaotycznej za pomocą analizy falkowej z wykorzystaniem falek Morleta, Haara, Daubeshies i Gaussa. Widma wykładników Lapunowa zostaną określone kilkoma metodami, w tym metodami Wolfa, Kantza i Rosensteina oraz zmodyfikowaną metodą sieci neuronowych. Za pomocą zmodyfikowanych znanych metod dynamiki nieliniowej i nowych metod zaproponowanych przez wykonawców projektu, zostaną zbadane scenariusze przejścia od drgań okresowych do chaotycznych oraz charakter stanu chaotycznego (chaos, hiper-chaos, itp.), a także wpływ parametrów zależnych od wielkości (ang. size-dependent parameters) oraz pól temperatury i szumu na rodzaj drgań badanych nano- i mikrokonstrukcji mechanicznych. Głównym zadaniem projektu jest opracowanie metodologii badawczej, nowego oprogramowania i algorytmów do projektowania urządzeń nanoelektromechanicznych o wymaganych charakterystykach, a także poprawa charakterystyk istniejących czujników NEMS. Powyższe rozważania prowadzą do wniosku, że przedstawiony problem jest poznawczo nowy i posiada duże znaczenie utylitarne. Podstawą i gwarancją realizacji tego ambitnego projektu jest doświadczenie wykonawców w rozpatrywanej tematyce, a w tym kilka wspólnych opublikowanych już prac w prestiżowych czasopismach dotyczących rozpatrywanych zagadnień. Wstępnie opracowane metody, podejścia, algorytmy i systemy oprogramowania zostaną zmodyfikowane i rozszerzone dla potrzeb realizacji proponowanego projektu. Znaczenie i istotność potrzeby badania dynamiki geometrycznie nieliniowych składników NEMS w obecności pól temperatury i szumów potwierdzono przeprowadzonym przeglądem literatury.


The miniaturization of sensors and instruments to a nanoscale has led to the need to identify and study the patterns that determine the processes occurring in these devices. Nanoelectromechanical (NEMS) devices have unique properties which determine their relevance for practical application. Among such properties, it is possible to distinguish low mass, high electric strength, high frequencies of a mechanical resonance, potentially larger effects of quantum mechanics, or a large surface-area-to-volume ratio. These properties are important for sensing elements of some types of sensors such as, for instance, pressure sensors. Nanosensors and nanoactuators find application in physics, biology, chemistry, medicine (diagnostics, cellular nano- and microsurgery, drug delivery) or industry. The operating conditions of NEMS sensors largely coincide with those for microelectromechanical sensors (MEMS). However, due to the ultra-small size of NEMS, the disturbing factors have a greater impact on NEMS devices than on MEMS. The novelty of the proposed research project will comprise: (i) construction of new mathematical models of NEMS components by using the methods of nonlinear dynamics and taking into account the small size and operating conditions of NEMS sensors; (ii) development of new algorithms, advanced system software and new methods of the analysis of data; (iii) application of a more complex theory, for example, the modified couple stress theory, taking the account of the von Kármán geometric nonlinearity. Overall, the abovementioned methods will be used to solve the scientific problem of creating new approaches to the design, manufacturing and materials of NEMS components in the form of nanoplates and nanoshells. Another important aspects of the study are the choice of a temperature effect model and taking into account the influence of white additive and color noise and the mutual action of the deformation and temperature fields. It should be noted that modeling of nonlinear vibrations of structural members is deeply simplified to studying one- or two-degree-of-freedom systems. Consideration of such reduced order systems leads to the analysis of coupled nonlinear second-order differential equations, but it does not allow one to accurately describe the nonlinear processes occurring in the original system of an infinite dimension. In this project, a continuous system is considered as a system of an almost infinite number of degrees of freedom, which describes the real structure most accurately. Hamilton's principle will be used to obtain nonlinear partial differential equations of different types and dimensions as well as boundary and initial conditions. The qualitative study will be carried out by means of experiments implementing various numerical methods. The reliability of the study will be verified by reducing the systems of partial differential equations to ordinary differential equations (by the 2nd and 4th order finite difference method, Faedo-Galerkin method) as well as solving the Cauchy problem using the Newmark methods and the Runge-Kutta method of the 4th and 2nd orders. The Runge-Kutta methods provide an automatic step change and allow one to control the integration error, which together ensures a reliable signal. In addition to the well-known approaches, it is proposed to analyze chaotic dynamics by using the wavelet analysis with Morlet, Haar, Daubechies, and Gauss wavelets. As for the problems of nonlinear dynamics, the spectra of Lyapunov exponents will be estimated by several methods, including Wolf, Kantz, and Rosenstein methods and the modified method of neural networks. With the help of modified known methods of nonlinear dynamics and author's approaches, the following topics will be investigated: scenarios of transition from periodic to chaotic vibrations, the character of a chaotic state (chaos, hyper-chaos, hyper-hyper chaos, deep chaos), the influence of size-dependent parameters as well as temperature and noise fields on the vibration modes of mechanical structures. The main task of the project is the development of a research methodology, new software and algorithms for designing nanoelectromechanical devices with the required characteristics as well as the improvement of characteristics of the currently existing NEMS sensors. All of the above leads to the conclusion that this problem is relevant and has a scientific novelty. The foundations of the study are the experience of the project participants in this field, accompanied by their active publishing activities, created methods, approaches, algorithms and software systems. The significance and relevance of investigating the nonlinear dynamics of geometrically nonlinear components of NEMS at the presence of temperature and noise fields is confirmed by the conducted review of the current research on the project subject.

Go back