Probabilistic aspects of Fraïssé limits
Probabilistyczne aspekty granic Fraisségo
Project type: Research and development
Keywords: Granice Fraïsségo graf losowy filtry asymetryczne monety zbiór Cantora przestrzeń polska
Keywords (english): Fraïssé limits random graph filter asymetric coins Cantor set Polish space
Consortium members: Project was not implemented as part of a consortium
Project implementation period: 16/01/2025 - 15/02/2028
Funding institution: Narodowe Centrum Nauki
Program name: PRELUDIUM
Project manager: Agnieszka Widz
Funding value: 139 800,00 PLN
Total project value: 139 800,00 PLN
Projekt dotyczy zagadnień czystej, abstrakcyjnej matematyki. Plan badawczy podzielony jest na trzy części. Dotyczą one miar na zbiorze Cantora, które pochodzą od rzutu asymetrycznymi monetami. Standardowa miara na zbiorze Cantora może być traktowana jako miara pochodząca z procesu rzucania symetryczną monetą nieskończoną ilość razy. Rozważamy proces rzucania monetami, które są asymetryczne, co więcej są coraz bardziej asymetryczne (tzn prawdopodobieństwo otrzymania reszki zbiega do 0). Okazuje się, że zmiana miary może prowadzić do interesujących pytań dotyczących obiektów otrzymywanych w procesach losowych oraz filtrów na liczbach naturalnych. W pierwszej części rozważamy grafy przeliczalne ze szczególnym uwzględnieniem grafu Rado i jego perturbowanych wersji. Standardowa procedura otrzymywania grafu Rado polega na rzucaniu symetryczną monetą w celu stwierdzenia istnienia krawędzi między wierzchołkami. W naszych badaniach rozważamy podobną procedurę z wykorzystaniem asymetrycznych monet. Zmiana ta umożliwia otrzymywanie grafów innych niż graf Rado metodami probabilistycznymi. Ta część ma dwa główne cele. Pierwszym z nich jest wykrycie, które grafy można uzyskać za pomocą takiej procedury. Drugi jest związany z faktem, że mając ustalone przypisanie prawdopodobieństw, możemy je permutować, aby uzyskać inne przypisanie. Chcemy zbadać, jak duże są rodziny permutacji generujących ustalony graf w rodzinie wszystkich permutacji Druga część jest rozszerzeniem pierwszej i jest poświęcona granicom Fraisse'a. Opierając się na istniejących wynikach dotyczących wyznaczania granic Fraisse'a za pomocą standardowej miary Haara, ponownie chcemy zmienić miarę na pochodzącą z rzutu asymetrycznymi monetami. Chcemy opisać nowe sposoby otrzymywania granic Fraisse'a. Co więcej, w pierwszej części propozycji mamy na myśli pewną szczególną perturbowaną wersję grafu Rado. Mamy nadzieję uzyskać ją w procesie losowym. W ten sposób, zaburzając proces losowy, otrzymalibyśmy zaburzony graf Rado. Ponieważ graf Rado jest granicą Fraisse'a, mamy nadzieję rozszerzyć tę procedurę i w ten sposób uzyskać perturbowane wersje innych granic Fraisse'a. Trzecia część dotyczy mierzalności filtrów na liczbach naturalnych. Chcemy scharakteryzować te miary na zbiorze Cantora, dla których istnieje niemierzalny filtr. Na przykład dla standardowej miary Haara każdy ultrafiltr inny niż główny jest niemierzalny. Bartoszynski pokazał jednak, że jeśli zmienimy miarę (ponownie na miarę pochodzącą z rzutu asymetryczną monetą), to może się okazać, że wszystkie filtry są mierzalne (względem tej „asymetrycznej” miary). W tej sekcji pojawiają się metody kombinatoryki nieskończonej i możliwe jest, że pojawią się wyniki niezależne od ZFC.
Project concerns pure, abstract mathematics. Research plan is divided into three parts. They concern measures on the Cantor set which comes from flipping asymmetric coins. The standard measure on the Cantor set can be thought of as a measure coming from the process of flipping a symmetric coin infinitely many times. We consider processes of flipping coins that are asymmetric, and in fact, they are more and more asymmetric (e.g. the probability of obtaining tails converges to 0). It turns out that changing the measure may lead to interesting questions concerning objects obtained by random processes and concerning filters on natural numbers. In the first part, we consider countable graphs with special emphasis on the Rado graph and its perturbed versions. The standard procedure to get the Rado graph is to flip a symmetrical coin to decide the existence of edges between vertices. In our research, we consider a similar procedure using asymmetric coins. This change provides a way to obtain other graphs than the Rado graph by probabilistic methods. This part has two main goals. The first one is detecting which graphs can be obtained by such a procedure. The second one is related to the fact that having a fixed assignment of probabilities, we can permutate them to get a different assignment. We want to investigate how large the families of permutations generating a fixed graph are within in family of all permutations. The second part is an extension of the first one and it is devoted to Fraisse limits. Based on existing results on drawing Fraisse limits with the standard Haar measure, we again want to change the measure to those coming from flipping asymmetric coins. We want to describe new ways of obtaining Fraisse limits. Moreover, in the first part of the proposal we have some particular perturbed version of the Rado graph in mind. We hope to obtain it by a random process. Thus, by perturbing the random process, we would obtain a perturbed Rado graph. Since the Rado graph is a Fraisse limit, we hope to extend this procedure and thus obtain perturbed versions of other Fraisse limits. The third part deals with the measurability of filters on natural numbers. We want to characterize those measures on the Cantor set for which there is a nonmeasurable filter. For example for the standard Haar measure, every non-principal ultrafilter is nonmeasurable. However, Bartoszynski showed that if we change the measure (again to a measure coming from flipping an asymmetric coin), then it may happen that all the filters are measurable (with respect to this "asymmetric" measure). In this section, the methods of infinitary combinatorics show up and it is possible that the results independent of the ZFC may occur.
Go back