Structural properties of nonlinear control systems: static and dynamic linearization, symmetries, observers
Strukturalne własności nieliniowych układów sterowania: statyczna i dynamiczna linearyzacja, symetrie, obserwatory
Project type: Research and development
Keywords: nieliniowe układy sterowania metody geometryczne układy mechaniczne płaskość linearyzacja ze sprzeżeniem zwrotnym obserwatory więzy nieholonomiczne symetrie
Keywords (english): nonlinear control systems geometric methods mechanical systems flatness feedback linearization observers nonholonomic constraints symmetries
Consortium members: Project was not implemented as part of a consortium
Project implementation period: 13/02/2025 - 12/02/2029
Funding institution: Narodowe Centrum Nauki
Program name: OPUS
Project manager:
Funding value: 1 232 200,00 PLN
Total project value: 1 232 200,00 PLN
Celem projektu jest badanie strukturalnych własności nieliniowych układów sterowania i projekt składa się z pięciu tematów badawczych. Pierwszy temat dotyczy różnych aspektów płaskości nieliniowych układów sterowania. Pomimo znaczenia układów płaskich w zastosowaniach, ich pełny opis (w szczególności weryfikowalne warunki konieczne i wystarczające) nie jest jeszcze znany. Proponujemy systematyzację i klasyfikowację płaskich układów afinicznych względem sterowania w małych wymiarach za pomocą ich niezmienników geometrycznych. Zajmiemy się również problemem płaskich wejść, czyli dla obserwowanej niesterowanej dynamiki, uczynić układ płaskim dodając odpowiednio dobrane sterujące pola wektorowe. Teoretycznym celem problemu jest opisanie dynamiki, która nie jest obserwowalna, ale może stać się obserwowalna i odwracalna, czyli płaska. Będziemy również badać osobliwości płaskości, rozróżniać osobliwości danego wyjścia płaskiego od wewnętrznych osobliwości systemu oraz badać relacje między nimi. Drugim tematem jest linearyzacja ze sprzężeniem zwrotnym mechanicznych układów sterowania. Badamy problem, czy możemy sprowadzić mechaniczny układ sterowania do liniowego układu mechanicznego, używając lokalnych dyfeomorfizmów w przestrzeni stanu i odwracalnych transformacji w przestrzeni sterowań (transformacje ze sprzężeniem zwrotnym). W przeciwieństwie do przekształceń ogólnych wymagamy, aby zachowywały one strukturę mechaniczną: konfiguracje są odwzorowywane na konfiguracje, prędkości na prędkości itp. Używamy narzędzi geometrycznych i interpretujemy rozwiązania zarówno geometrycznie, jak i mechanicznie. Następny problem stanowi pomost między pierwszym a drugim tematem. Mianowicie planujemy zbadać płaskość mechanicznych układów sterowania. Planujemy sklasyfikować wszystkie płaskie układy mechaniczne w małych wymiarach (dwa i trzy stopnie swobody): otrzymać postaci normalne i zaproponować pełny zestaw niezmienników (geometrycznych i/lub mechanicznych). Trzecim tematem jest zaproponowanie dla nieliniowych układów sterowania obserwatorów o dynamice liniowej (lub linearyzowalnej). Wykorzystamy (lokalne) dyfeomorfizmy w przestrzeni stanów, a także osobliwe zmiany skali czasu. Zajmiemy się również problemem obserwatorów adaptacyjnych (dla układów o nieznanych parametrach). Czwarty temat, który zamierzamy rozwinąć, dotyczy układów sterowania podlegających więzom nieholonomicznym, które mogą być liniowe, afiniczne lub kwadratowe względem prędkości. Dla problemu więzów liniowych (definiujących dystrybucję) będziemy badać związki geodezyjnych w geometrii subriemannowskiej z liniowo-kwadratowymi problemami sterowania optymalnego. Przypadek więzów kwadratowych jest mniej zbadany i pojawia się w zastosowaniach po procedurze redukcji zastosowanej do systemu (porównaj klasyczny model pojazdu Dubina). Planujemy badanie charakteryzacji i klasyfikacji nieholonomicznych więzów kwadratowych oraz opis symetrii układów z nieholonomicznymi więzami kwadratowymi. Będziemy również badać relacje płaskości i symetrii. Wiele nieliniowych układów sterowania jest płaskich, a wiele spośród nich wykazuje naturalne właściwości symetrii (na przykład niezmienniczość względem naturalnej grupy przekształceń, jak niezmienniczość względem obrotów i / lub translacji). Pojawia się naturalny problem do zbadania: jeśli płaski układ posiada grupę symetrii, czy dopuszcza on płaskie wyjście, który jest niezmiennicze względem tej samej grupy symetrii? Wreszcie piątym tematem są nieliniowe układy sterowania na nieliniowych obszarach z rogami (ograniczenia wynikające z nieostrych nierówności nieliniowych). Będziemy badać właściwości takich układów, w szczególności problem ich równoważności z dodatnimi liniowymi układami sterowania. Ta ostatnia klasa jest dobrze zbadana, więc naturalne jest opisanie układów nieliniowych posiadających układ równoważny, który jest jednocześnie liniowy i dodatni. Będziemy badać wzajemne relacje między geometrią ograniczeń a geometrią układówów linearyzowalnych. Można wyróżnić dwa czynniki łączące wszystkie powyższe tematy. Po pierwsze, we wszystkich problemach posługujemy się metodami geometrycznymi, które pozwalają na zastosowanie potężnych narzędzi geometrii różniczkowej (nawiasy Liego, dystrybucje inwolutywne i nieinwolutywne, algebry Liego symetrii infinitezymalnych itp.) i na postawienie problemu, jego analizę i ostatecznie rozwiązanie w sposób niezależny od konkretnej reprezentacji. Po drugie, rozwiązania matematyczne, które planujemy uzyskać, mogą być interpretowane dla układów fizycznych (zwłaszcza mechanicznych), a zatem mogą (i będą) być stosowane do rozwiązywania problemów sterowania.
The aim of the project is to study structural properties of nonlinear control systems and the project consists of five topics. The first topic concerns various aspects of flatness of nonlinear control systems. Despite importance of flat systems in applications, their complete description (in particular verifiable necessary and sufficient conditions) is not known yet. We propose, to systematize and classify flat control-affine systems in small dimensions using their geometric invariants. We will also study the problem of flat inputs, that is, for uncontrolled observed dynamics, render the system flat by adding, suitably chosen control vector fields. Theoretical interest of the problem is to describe dynamics that are not observable but can be rendered observable and invertible, that is flat. We will also study singularities of flatness, distinguish between singularities of a given flat output from intrinsic singularities of the system, and study relations between them. The second topic is feedback linearization of mechanical control systems. We study the problem of whether we can bring a mechanical control system into a linear mechanical system using local diffeomorphisms in the state-space and invertible transformations in the control-space (feedback transformations). Contrary to the case of general transformations, we require that they preserve the mechanical structure: positions are mapped into positions, velocities into velocities etc. We use geometric tools and interpret the solutions both geometrically and mechanically. The next problem forms a bridge between the first and second topic. Namely, we are planning to study flatness of mechanical control systems. We are planning to classify all flat mechanical systems in small dimensions (two and three degrees of freedom): to give normal forms and to propose a complete set of invariants (geometric and/or mechanical). The third topic is that of constructing, for nonlinear control systems, observers with linear (or linearizable) dynamics. We will use (local) diffeomorphisms in the state-space and also a singular time-rescaling. We will be dealing also with the problem of adaptive observers (for systems with unknown parameters). The fourth topic, that we are going to develop, concerns control systems subject to nonholonomic constraints that can be either linear or affine, or quadratic with respect to velocities. For the problem of linear constraints (thus defining a distribution) we will study relations of sub-Riemannian geodesics with linear-quadratic optimal control problems. The case of quadratic constraints is less studied and shows up in applications after a reduction procedure applied to the system (compare the classical Dubin's car). We are planning to study characterization and classification of quadratic nonholonomic constraints as well as to describe symmetries of systems under quadratic nonholonomic constraints. We will also study relations of flatness and symmetries. Many nonlinear control systems are flat and many exhibit natural symmetry properties (for instance, invariance under a natural group of transformations, like invariance under rotations and/or translations). There is a natural question to study: if a flat system possesses a group of symmetries, does it admit a flat output that is invariant under the same symmetry group?Finally, the fifth topic are nonlinear control systems on nonlinear corner regions (constraints given by non-strict inequalities). We will study properties of such systems, in particular, the problem of their equivalence to positive linear control systems. The latter class is well understood so it is natural to describe nonlinear systems having a counterpart that is, simultaneously, linear and positive. We will study the interplay between the geometry of the constraints and the geometry of linearizable systems. Two unifying factors of all above topics can be described follows. First, in all problems we us geometric methods that allow to apply powerful tools of differential geometry (Lie brackets, involutive and on non-involutive distributions, Lie algebras of infinitesimal symmetries etc.) and to state the problem, to analyse it and, finally, to solve it in a way that is independent of a particular representation. Second, mathematical solutions that we are planning to obtain can be interpreted for physical (especially, mechanical) systems and thus can (and will be) applied to solve control problems
Go back